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不完全性定理

不完全性定理
不完全性定理

 前書きによれば特殊相対性理論は初等的知識で理解することができるが不完全性定理は入門書を読んだくらいでは到底理解することはできないと威し文句が書かれています。恐ろしげな本ですが勉強してみます。


 読んでみましたが前半の論文本体はやはり難しく理解が進みませんでしたが後半の解説でかろうじて概要を掴むことができたと思います。

 ある数学の系に矛盾がないことをその系自体で証明できない。

 自身の正当性を自身のみでは証明できないなんて人間のような話でした。


 常々人工知能には「知」のみでは無く「能」もなければそれは単なる知の集合であって知能ではないと思っていました。

「能」に当たる部分を本能とすれば知の集合と本能を併せて人工知能ができると考えた訳です。

 不完全性定理を読んで「知」と「能」のみならず「勇気」と「創造」も必要であると考えを改めました。

 ゲーテルに勇気と創造がなければ系が持つ矛盾を乗り越えることはできなかったでしょう。

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相対性理論 電気力学の部

相対性理論
相対性理論

電気力学の部

 運動学の部と同じように解るところまで数式を勉強します。

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial t}=\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z},
$$

$$
\frac{\partial B_x}{\partial t}=-\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right),
$$

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_y}{\partial t}=\frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial B_y}{\partial t}=-\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right),
$$

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial t}=\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y},
$$

$$
\frac{\partial B_z}{\partial t}=-\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right),
$$

$$\left.\begin{array}{c}
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E_x}{\partial \tau}=\frac{\partial}{\partial\eta}\left\{\beta\left(E_z-\frac{v}{c^2}E_y\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\zeta}\left\{\beta\left(B_y+\frac{v}{c^2}E_z\right)\right\},
\\
\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial \tau}\{\beta(E_y-vB_z)\}=\frac{\partial B_x}{\partial\zeta}-\frac{\partial}{\partial\xi}\left\{\beta\left(B_z-\frac{v}{c^2}E_y\right)\right\},
\\
\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial \tau}\{\beta(E_z+vB_y)\}=\frac{\partial}{\partial\xi}\left\{\beta\left(B_y+\frac{v}{c^2}E_z\right)\right\}-\frac{\partial}{\partial\eta}B_x,
\end{array}\right\}
$$

$$
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial B_x}{\partial\tau}=-\frac{\partial}{\partial\eta}\{\beta(E_z+vB_y)\}+\frac{\partial}{\partial\zeta}\{\beta(E_y-vB_z)\},
\\
\frac{\partial}{\partial\tau}\left\{\beta\left(B_y+\frac{v}{c^2}E_z\right)\right\}=-\frac{\partial}{\partial\zeta}E_x+\frac{\partial}{\partial\xi}\{\beta(E_z+vB_y)\},
\\
\frac{\partial}{\partial\tau}\left\{\beta\left(B_z-\frac{v}{c^2}E_y\right)\right\}=-\frac{\partial}{\partial\xi}\{\beta(E_y-vB_z)\}+\frac{\partial}{\partial\eta}E_x.
\end{array}\right\}
$$

$$\beta=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E’_{\xi}}{\partial\tau}=\frac{\partial B’_{\zeta}}{\partial\eta}-\frac{\partial B’_{\eta}}{\partial\zeta},
$$

$$
\frac{\partial B’_{\xi}}{\partial\tau}=-\left(\frac{\partial E’_{\zeta}}{\partial\eta}-\frac{\partial E’_{\eta}}{\partial\zeta}\right),
$$

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E’_{\eta}}{\partial\tau}=\frac{\partial B’_{\xi}}{\partial\zeta}-\frac{\partial B’_{\zeta}}{\partial\xi},
$$

$$
\frac{\partial B’_{\eta}}{\partial\tau}=-\left(\frac{\partial E’_{\xi}}{\partial\zeta}-\frac{\partial E’_{\zeta}}{\partial\xi}\right),
$$

$$
\frac{1}{c^2}\frac{\partial E’_{\zeta}}{\partial\tau}=\frac{\partial B’_{\eta}}{\partial\xi}-\frac{\partial B’_{\xi}}{\partial\eta},
$$

$$
\frac{\partial B’_{\zeta}}{\partial\tau}=-\left(\frac{\partial E’_{\eta}}{\partial\xi}-\frac{\partial E’_{\xi}}{\partial\eta}\right).
$$

$$
E’_{\xi}=\psi(v)E_x,
\space
B’_{\xi}=\psi(v)B_x,
$$

$$
E’_{\eta}=\psi(v)\beta(E_y-vB_z),
\space
B’_{\eta}=\psi(v)\beta\{B_y+(v/c^2)E_z\},
$$

$$
E’_{\zeta}=\psi(v)\beta(E_z+vB_y),
\space
B’_{\zeta}=\psi(v)\beta\{B_z-(v/c^2)E_y\}.
$$

$$\psi(v)\cdot\psi(-v)=1.$$

$$\psi(v)=\psi(-v).$$

$$\psi(v)=1$$

$$E’_{\xi}=E_x,\space B’_{\xi}=B_x,$$

$$
E’_{\eta}=\beta(E_y-vB_z),\space B’_{\eta}=\beta\left(B_y+\frac{v}{c^2}E_z\right),
$$

$$
E’_{\zeta}=\beta(E_z-vB_y),\space B’_{\zeta}=\beta\left(B_z+\frac{v}{c^2}E_y\right).
$$

$$
E_x=E_{x0}\space sin\space\varPhi,\space B_x=B_{x0}\space sin\space\varPhi,
$$

$$
E_y=E_{y0}\space sin\space\varPhi,\space B_y=B_{y0}\space sin\space\varPhi,
$$

$$
E_z=E_{z0}\space sin\space\varPhi,\space B_z=B_{z0}\space sin\space\varPhi,
$$

$$
\varPhi=\omega\{t-(lx+my+nz)/c\}.
$$

$$
E’_{\xi}=E_{x0}\space sin\space\varPhi’,\space B’_{\xi}=B_{x0}\space sin\space\varPhi’,
$$

$$
E’_{\eta}=\beta(E_{y0}-vB_{z0})\space sin\space\varPhi’,\space B’_{\eta}=\beta\left(B_{y0}+\frac{v}{c^2}E_{z0}\right)\space sin\space\varPhi’,
$$

$$
E’_{\zeta}=\beta(E_{z0}-vB_{y0})\space sin\space\varPhi’,\space B’_{\zeta}=\beta\left(B_{z0}+\frac{v}{c^2}E_{y0}\right)\space sin\space\varPhi’,
$$

$$\varPhi’=\omega’\{\tau-(l’\xi+m’\eta+n’\zeta)/c\}.$$

$$\omega’=\omega\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right),$$

$$l’=\left.\left(l-\frac{v}{c}\right)\middle/\left(1-l\frac{v}{c}\right)\right.,$$

$$m’=\left. m\middle/\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right)\right.,$$

$$n’=\left. n\middle/\beta\left(1-l\frac{v}{c}\right)\right. .$$

$$\nu’=\left.\nu\left(1-\frac{v}{c}cos\space\varphi\right)\middle/\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\right.$$

$$\nu’=\nu\sqrt{\left.\left(1-\frac{v}{c}\right)\middle/\left(1+\frac{v}{c}\right)\right.}.$$

$$cos\space\varphi’=\left.\left(cos\space\varphi-\frac{v}{c}\right)\middle/\left(1-\frac{v}{c}cos\space\varphi\right)\right..$$

$$cos\space\varphi’=-\frac{v}{c}.$$

$$
(A’)^2=A^2\left.\left(1-\frac{v}{c}cos\space\varphi\right)^2\middle/\left\{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right\}\right..
$$

$$\varphi=0$$

$$
(A’)^2=A^2\left.\left(1-\frac{v}{c}\right)\middle/\left(1+\frac{v}{c}\right)\right..
$$

 この式のところで「観測者が速さcで光源に向かって走ればこの人から見たとき光源は無限に強い明るさに輝いて見えることになる」とあったのですが直ぐに理解できなかったので補足しておきます。

 光源に向かっているのでvはマイナスの値になります。vがcに近づくほど分母は1+v/cなので0に近づきます。分子は1-v/cなので2に近づきます。従って限り無く2に近い値を限り無く0に近い値で割るので無限に大きい振幅になるということです。

$$w=(\vec E\cdot\vec D+\vec H\cdot\vec B)/2$$

$$(x-lct)^2+(y-mct)^2+(z-nct)^2=R^2$$

$$\left(\beta\xi-l\frac{v}{c}\beta\xi\right)^2+\left(\eta-m\frac{v}{c}\beta\xi\right)^2+\left(\zeta-n\frac{v}{c}\beta\xi\right)^2=R^2$$

$$
\frac{S’}{S}=\left.\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\middle/\left(1-\frac{v}{c}cos\space\varphi\right)\right.
$$

$$
\frac{E’}{E}=\frac{w’S’}{wS}=\frac{(A’)^2S’}{(A)^2S}=\frac{1-(v/c)cos\space\varphi}{\sqrt{1-(v/c)^2}}
$$

$$\varphi=0$$

$$\frac{E’}{E}=\sqrt{\frac{1-(v/c)}{1+(v/c)}}.$$

$$
A’=A\{1-(v/c)cos\space\varphi\}/\sqrt{1-(v/c)^2},
$$

$$
cos\space\varphi’=\{cos\space\varphi-(v/c)\}/\{1-(v/c)cos\space\varphi\},
$$

$$
\nu’=\nu\cdot\{1-(v/c)cos\space\varphi\}/\sqrt{1-(v/c)^2}
$$

$$
A^{\prime\prime}=A’,\space cos\space\varphi^{\prime\prime}=-cos\space\varphi’,\space\nu^{\prime\prime}=\nu’
$$

$$
A^{\prime\prime\prime}=A^{\prime\prime}\frac{1+(v/c)cos\space\varphi^{\prime\prime}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=A\frac{1-2(v/c)cos\space\varphi+(v/c)^2}{1-(v/c)^2},
$$

$$
cos\space\varphi^{\prime\prime\prime}=\frac{cos\space\varphi^{\prime\prime}+(v/c)}{1+(v/c)cos\space\varphi^{\prime\prime}}=-\frac{\{1+(v/c)^2\}cos\space\varphi-2(v/c)}{1-2(v/c)cos\space\varphi+(v/c)^2},
$$

$$
\nu^{\prime\prime\prime}=\nu^{\prime\prime}\frac{1+(v/c)cos\space\varphi^{\prime\prime}}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\nu\frac{1-2(v/c)cos\space\varphi+(v/c)^2}{\{1-(v/c)\}^2},
$$

$$
P=2w\frac{\{cos\space\varphi-(v/c)\}^2}{1-(v/c)^2}.
$$

$$P=2w\space cos^2\varphi$$

 ようやく「力」が出てきました。

$$
\frac{\partial D_x}{\partial t}+\rho u_x=\frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z},\space\frac{\partial B_x}{\partial t}=-\frac{\partial E_z}{\partial y}+\frac{\partial E_y}{\partial z},
$$

$$
\frac{\partial D_y}{\partial t}+\rho u_y=\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x},\space\frac{\partial B_y}{\partial t}=-\frac{\partial E_x}{\partial z}+\frac{\partial E_z}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial D_z}{\partial t}+\rho u_z=\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y},\space\frac{\partial B_z}{\partial t}=-\frac{\partial E_y}{\partial x}+\frac{\partial E_x}{\partial y}.
$$

$$
\rho=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}
$$

$$
\frac{\partial D’_\xi}{\partial\tau}+\rho’ u_\xi=\frac{\partial H’_\zeta}{\partial \eta}-\frac{\partial H’_\eta}{\partial \zeta},\space\frac{\partial B’_\xi}{\partial\tau}=-\frac{\partial E’_\zeta}{\partial \eta}+\frac{\partial E’_\eta}{\partial \zeta},
$$

$$
\frac{\partial D’_\eta}{\partial\tau}+\rho’ u_\eta=\frac{\partial H’_\xi}{\partial \zeta}-\frac{\partial H’_\zeta}{\partial \xi},\space\frac{\partial B’_\eta}{\partial\tau}=-\frac{\partial E’_\xi}{\partial \zeta}+\frac{\partial E’_\zeta}{\partial \xi},
$$

$$
\frac{\partial D’_\zeta}{\partial\tau}+\rho’ u_\zeta=\frac{\partial H’_\eta}{\partial \xi}-\frac{\partial H’_\xi}{\partial \eta},\space\frac{\partial B’_\zeta}{\partial\tau}=-\frac{\partial E’_\eta}{\partial \xi}+\frac{\partial E’_\xi}{\partial \eta}.
$$

$$u_\xi=\frac{u_x-v}{1-(u_xv/c^2)},\space u_\eta=\frac{u_y}{\beta\{1-(u_xv/c^2)\}},\space u_\zeta=\frac{u_z}{\beta\{1-(u_xv/c^2)\}},$$

$$\rho’=\frac{\partial D’_\xi}{\partial\xi}+\frac{\partial D’_\eta}{\partial\eta}+\frac{\partial D’_\zeta}{\partial\zeta}=\beta\left(1-\frac{u_xv}{c^2}\right)\rho.$$

$$
\mu\frac{d^2x}{dt^2}=\varepsilon E_x,
\space
\mu\frac{d^2y}{dt^2}=\varepsilon E_y,
\space
\mu\frac{d^2z}{dt^2}=\varepsilon E_z
$$

ここの説明に \(\mu\) は「その質量を表す」とあります。「力」に続き「質量」も登場してきました。

$$t=x=y=z=0$$

$$\tau=\xi=\eta=\zeta=0$$

$$\tau=\beta\{t-(v/c^2)x\},$$

$$\xi=\beta(x-vy),\space E’_\xi=E_x,$$

$$\eta=y,\space E’_\eta=\beta(E_y-vB_z),$$

$$\zeta=z,\space E’_\zeta=\beta(E_z+vB_y).$$

$$\left.\begin{array}{c}
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta^3}E_x,
\\
\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}(E_y-vB_z),
\\
\frac{d^2z}{dt^2}=\frac{\varepsilon}{\mu}\frac{1}{\beta}(E_z+vB_y).
\end{array}\right\}
$$

$$\mu\beta^3\frac{d^2x}{dt^2}=\varepsilon E_x =\varepsilon E’\xi,$$

$$\mu\beta^2\frac{d^2y}{dt^2}=\varepsilon\beta(E_y-vB_z) =\varepsilon E’\eta,$$

$$\mu\beta^2\frac{d^2z}{dt^2}=\varepsilon\beta(E_z+vB_y) =\varepsilon E’\zeta,$$

$$mass \times acceleration = power$$

$$longitudinal\space mass=\left.\mu\middle/\left\{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\right\}^3\right.,$$

$$transverse\space mass=\left.\mu\middle/\left\{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2\right\}\right.$$

$$W=\int\varepsilon E_xdx=\mu\int_0^v\beta^3vdv=\mu c^2\left\{\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}-1\right\}.$$

$$A_m/A_e=v/c$$

$$P=\int E_xdx=\frac{\mu}{\varepsilon}c^2\left\{\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}-1\right\}.$$

$$-\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{v^2}{R}=\frac{\varepsilon}{\mu}vB\sqrt{1-(v/c)^2},$$

$$R=\mu v/\varepsilon B\sqrt{1-(v/c)^2}.$$

 光速が不変となった為に運動学の部では時間と空間が可変となり、電気力学の部では質量までも可変になってしまいました。当時最新の科学であったであろう電磁波と数百年来慣れ親しんだ力学を統一した理論で再構築しあらゆる科学に見直しを迫るというとてつもない偉業が書かれている一冊でした。

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相対性理論 運動学の部

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相対性理論

 文庫本として読んでみましたが理解できませんでした。前半が論文で後半が解説になっており一般の人でも解る構成だそうですが、光速が不変であることぐらいしか読み取ることができませんでした。これで終わってはもったいないので数式を解るところまで勉強してみます。

運動学の部

$$t_B-t_A=t’_A-t_B$$

$$\frac{2\overline{AB}}{t’_A-t_A}=c$$

$$t_B-t_A=\frac{r_{AB}}{c-v’}$$

$$t’_A-t_B=\frac{r_{AB}}{c+v’}$$

$$\frac{1}{2}(\tau_0+\tau_2)=\tau_1$$

$$\frac{1}{2}\left\{\tau(0,0,0,t)+\\\tau\left(0,0,0,t+\frac{l’}{c-v}+\frac{l’}{c+v}\right)\right\}\\=\tau\left(l’,0,0,t+\frac{l’}{c-v}\right).$$

$$\frac{\partial \tau}{\partial x’}+\frac{v}{c^2-v^2}\frac{\partial \tau}{\partial t}=0$$

$$\frac{\partial \tau}{\partial y}=0, \frac{\partial \tau}{\partial z}=0$$

$$\tau=a\left(t-\frac{v}{c^2-v^2}x’\right)$$

$$\xi=c\tau$$

$$\xi=ac\left(t-\frac{v}{c^2-v^2}x’\right)$$

$$\frac{x’}{c-v}=t.$$

$$\xi=a\frac{c^2}{c^2-v^2}x’.$$

$$\eta=c\tau=ac\left(t-\frac{v}{c^2-v^2}x’\right).$$

$$\frac{y}{\sqrt{c^2-v^2}}=t,\space x’=0$$

$$\eta=a\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}y.$$

$$\xi=a\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}z.$$

$$x’=x-vt$$

$$\tau=\varphi(v)\beta\left(t-\frac{v}{c^2}x\right),$$

$$\xi=\varphi(v)\beta(x-vt),$$

$$\eta=\varphi(v)y,$$

$$\zeta=\varphi(v)z.$$

$$\beta=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}},$$

$$\varphi(v)=\frac{a(v)}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

$$x^2+y^2+z^2=c^2 t^2$$

$$\xi^2+\eta^2+\zeta^2=c^2 \tau^2$$

$$t’=\varphi(-v)\cdot\beta(-v)\left(\tau+\frac{v}{c^2}\xi\right)=\\\varphi(v)\cdot\varphi(-v)t,$$

$$x’=\varphi(-v)\cdot\beta(-v)(\xi+vt)=\\ \varphi(v)\cdot\varphi(-v)x,$$

$$y’=\varphi(-v)\eta=\varphi(v)\cdot\varphi(-v)y,$$

$$z’=\varphi(-v)\zeta=\varphi(v)\cdot\varphi(-v)z.$$

$$\varphi(v)\cdot\varphi(-v)=1$$

$$x_1=vt,\space y_1=\frac{l}{\varphi(v)’},\space z_1=0.$$

$$x_2=vt,\space y_2=0,\space z_2=0.$$

$$\frac{l}{\varphi(v)}=\frac{l}{\varphi(-v)},$$

$$\varphi(v)=\varphi(-v)$$

$$\tau=\beta\cdot\left(t-\frac{v}{c^2}x\right),$$

$$\xi=\beta\cdot(x-vt),$$

$$\eta=y,\space \zeta=z.$$

$$\beta=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$

$$\xi^2+\eta^2+\zeta^2=R^2.$$

$$\left\{\frac{x}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\right\}^2+y^2+z^2=R^2.$$

$$R\sqrt{1-(v/c)^2},\space R,\space R$$

$$1:\sqrt{1-(v/c)^2}$$

$$\tau=\left. \left(t-\frac{v}{c^2}x\right)\middle/\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}.\right.$$

$$x=vt$$

$$\tau=t\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}=\\t-\left\{1-\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\right\}t$$

$$\left\{1-\sqrt{1-(v/c)^2}\right\}$$

$$\xi=w_{\xi}\tau,\space \eta=w_{\eta}\tau,\space \zeta=0$$

$$x=\frac{w_{\xi}+v}{1+(vw_{\xi}/c^2)}t,$$

$$y=\frac{\sqrt{1-(v/c)^2}}{1+(vw_{\xi}/c^2)}w_{\eta}t,$$

$$z=0.$$

$$U^2=\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2,$$

$$w^2=(w_{\xi})^2+(w_{\eta})^2,$$

$$\alpha=arctan(w_{\eta}/w_{\xi})$$

$$U=\frac{\sqrt{(v^2+w^2+2vw\space cos\space \alpha)-(vw\space sin\space\alpha/c)^2}}{1+(vw\space cos \space\alpha/c^2)}.$$

$$U=\frac{v+w}{1+(vw/c^2)}.$$

$$U=c\frac{2c-\kappa-\lambda}{2c-\kappa-\lambda+\frac{\kappa\lambda}{c}}<c.$$

$$U=\frac{c+w}{1+(w/c)}=c.$$

$$\frac{v+w}{1+(vw/c^2)}$$

 相対性理論の前までは速度は一つの物理量として自由に加減できたのですが、光速が不変とわかったとき、速度に関わる法則を見直さなければならなくなり、それまで不変としてきた時間や空間を可変にすることで法則の維持を図ったのだと思います。それを実証する為に今でも観測や実験が繰り返されているのでしょう。

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種の起源

種の起源
種の起源

ダーウィンとコンピュータに関係はありませんが、種の起源の主張を取り入れれば人工知能ももう少しまともになる気がします。

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リア王

リア王
リア王

演劇に携わっていない人もシェークスピアの名前は聞いたことがあると思います。偉大な人物であればその業績から学ぶことがあるかもしれないとリア王を読んでみました。が、今のところ私には理解が及ばず何かを得ることができませんでした。